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Enunciato Modifica

Il Teorema di Bolzano o teorema degli zeri per le funzioni continue, afferma che se una funzione $ f $ di una variabile definita in un intervallo I=[a,b] assume agli estremi dell'intervallo valori di segno opposto, allora esiste uno zero per la funzione nell'interiore dell'intervallo.


Dimostrazione per assurdo Modifica

Poniamoci nel caso $ f(a)<0<f(b) $, essendo il caso opposto dimostrabile nel modo esattamente inverso.
Consideriamo l'insieme $ E=\{x \in [a,b]|f(x) < 0\} $, ovviamente $ a \in E $ e b è un maggiorante di E.
Esiste quindi $ e=\sup{E}<b $, l'estremo superiore dell'insieme E per la completezza d'ordine di $ \mathbb{R} $.
Valutiamo $ f $ in e:

  • Se fosse $ f(e)<0 $ allora per il teorema di permanenza del segno avremmo un intervallo $ [e,e+\delta] $ in cui $ f $ assume valori negativi, il che è un assurdo perchè e è estremo superiore.
  • Se fosse $ f(e)>0 $ allora per il teorema di permanenza del segno avremmo un intervallo $ [e-\delta,e] $ in cui $ f $ assume valori positivi, il che è un assurdo per le proprietà dell'estremo superiore in $ \mathbb{R} $.

Allora f(e)=0 e abbiamo trovato uno zero della funzione $ f $, concludendo la dimostrazione.

Osservazioni Modifica

Più generalmente il risultato è vero per le funzioni $ f $ di più variabili definite in domini connessi di $ \mathbb{R}^n $.
Se $ f $ assume valori di segno opposto in due punti a e b del dominio connesso, lungo qualunque curva $ \gamma $ contenuta nel dominio che connette i due punti esiste uno zero della funzione. La dimostrazione si riduce al caso già dimostrato se si considera un ascissa curvilinea s su $ \gamma $ e si ripetono i passaggi sostituendo ad $ f $ la restrizione $ f(s)_{| \gamma} $ di $ f $, intesa appunto come funzione di s. 
Il Teorema di Bolzano permette una semplice dimostrazione del Teorema dei valori intermedi

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