Sigma-Compatto

Definizione

Dato uno spazio topologico $\left ( S, \mathcal{A} \right )$ si dice σ-compatto un sottoinsieme di S che si possa scrivere come unione numerabile di compatti della topologia $\mathcal{A}$. Scritto in formule:

$A \subseteq S$ è un σ-compatto $\Leftrightarrow \exists \left \{ K_n, n \in \mathbb{N} \right \}$ con $K_n$ compatto $\forall n \in \mathbb{N} : A=\bigcup_{n=1}^{\mathcal{1}}K_n$

Si può dimostrare in qualsiasi spazio topologico la seguente:

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Proposizione

K è un compatto $\Rightarrow$ K è σ-compatto

Dimostrazione

La successione di compatti che prenderemo sarà semplicemente la successione costante al compatto K.

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Sulla base del fatto che unione finita di compatti è ancora un compatto risulta dimostrata anche la seguente:

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Proposizione

L'unione finita di compatti è un σ-compatto

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Risulta più interessante invece la seguente:

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Proposizione

L'unione numerabile di σ-compatti è ancora un σ-compatto

Dimostrazione

Sia $\left \{A_i,i \in \mathbb{N} \right \}$ una successione di σ-compatti.
Dunque $\forall i \in \mathbb{N} \ \exists \left \{ K_{i,j},j \in \mathbb{N} \right \}$ famiglia di σ-compatti tale che $A_i=\bigcup_{j=1}^{\mathcal{1}}K_j$. Da cui $\bigcup_{i=1}^{\mathcal{1}}A_i = \bigcup_{i=1}^{\mathcal{1}}\bigcup_{j=1}^{\mathcal{1}}K_{i,j}$. Risulta facile convincersi che, avendo a disposizione una biezione tra $\mathbb{N}^2$ e $\mathbb{N}$, è possibile riordinare i compatti in modo da averne un'unione numerabile senza alterare la natura dell'unione stessa.
In seguito è riportata un'altra via dimostrativa. Si osservi che $\forall n\in \N$ l'insieme $\left \{ \left (i,j \right ) \in \mathbb{N}^2\ : i+j=n+1 \right \}$ è finito.
Si consideri dunque la successione di insiemi $\bar{K}_n=\bigcup_{i+j=n+1}K_{i,j}$.
Questa è una successione di compatti in quanto ciascuno dei $\bar{K}_n$ è unione finita di compatti. Si prenda $x \in \bigcup_{n=1}^\mathcal{1} \bar{K}_n$; allora $\exists n \in \mathbb{N}\ : x \in \bar{K}_n$ e, per definizione dei $\bar{K}_n$, $\exists i \in \mathbb{N}\ \exists j \in \mathbb{N}\ : i+j=n+1 \land x \in K_{i,j}$ da cui $x \in \bigcup_{i=1}^\mathcal{1} \bigcup_{j=1}^\mathcal{1} K_{i,j}$ e, per generalizzazione, $\bigcup_{n=1}^\mathcal{1} \bar{K}_n \subseteq \bigcup_{i=1}^\mathcal{1} \bigcup_{j=1}^\mathcal{1} K_{i,j}$.
Viceversa, preso $x \in \bigcup_{i=1}^\mathcal{1} \bigcup_{j=1}^\mathcal{1} K_{i,j}$ allora $\exists i \in \mathbb{N} \exists j \in \mathbb{N} : x \in K_{i,j}$.
Da $i+j \ge 2$ otteniamo che $\exists n \in \mathbb{N} : n+1=i+j$ e $x \in \bar{K}_n$, da cui si ottiene, sempre per generalizzazione, $\bigcup_{i=1}^\mathcal{1} \bigcup_{j=1}^\mathcal{1} K_{i,j} \subseteq \bigcup_{n=1}^\mathcal{1} \bar{K}_n$.
In conclusione $\bigcup_{i=1}^\mathcal{1} \bigcup_{j=1}^\mathcal{1} K_{i,j} = \bigcup_{n=1}^\mathcal{1} \bar{K}_n$ e l'asserto risulta dimostrato.

$\Box$

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σ-compatti in $\left (\mathbb{R}^n,\mathcal{N} \right )$

Nel caso di $\R^n$ e la sua topologia naturale, possiamo riscontrare ulteriori proprietà dei σ-compatti:

Proposizione

Tutti i chiusi sono σ-compatti.

Dimostrazione

Sia $C$ un chiuso limitato. Allora già sappiamo che $C$ è un compatto e dunque un σ-compatto. Sia ora $C$ chiuso e illimitato. Si definiscano i chiusi $U_n=\left \{ x:|x| \le n \right \} \forall n \in \mathbb{N}$ e la successione $C_n=C \cap U_n$. Essendo $C_n$ intersezione finita di chiusi di cui uno limitato, esso è chiuso e limitato e dunque è un compatto. Inoltre $C=\bigcup_{n=1}^{\mathcal{1}}C_n$, da cui $C$ è un σ-compatto.

$\Box$

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Proposizione

Tutti gli aperti sono σ-compatti.

Dimostrazione

Sia $C \left ( x_0,r \right )=\left \{ x: |x-x_0|<r \right \}$ cerchio aperto di centro $x_0$ e di raggio $r$. Si definisca la successione di compatti $U\left (x_0,r-\frac{1}{n} \right )=\left \{ x:|x-x_0| \le r- \frac{1}{n} \right \}$. Dato che $U \left (x_0,r-\frac{1}{n} \right ) \subset C \left (x_0,r \right ) \forall n \in \mathbb{N}$, allora $\bigcup_{n=1}^{\mathcal{1}} U \left (x_0,r-\frac{1}{n} \right ) \subseteq C \left (x_0,r \right )$. Sia $x \in C \left (x_0,r \right )$, allora $|x-x_0|<r$ e, per la proprietà di Archimede $\exists n \in \mathbb{N} : |x-x_0|\le r-\frac{1}{n} < r$, ossia $\exists n \in \mathbb{N}: x \in U\left (x_0,r-\frac{1}{n} \right )$, da cui $x \in \bigcup_{n=1}^{\mathcal{1}}U \left (x_0,r-\frac{1}{n} \right )$ e $C \left (x_0,r \right ) \subseteq \bigcup_{n=1}^{\mathcal{1}} U \left (x_0,r-\frac{1}{n} \right )$. Risulta dunque $C \left (x_0, r \right )=\bigcup_{n=1}^{\mathcal{1}} U \left (x_0,r-\frac{1}{n} \right )$ e $C \left (x_0, r \right )$ è un σ-compatto. Abbiamo dunque dimostrato che tutti i cerchi aperti sono σ-compatti. Basta dunque osservare che dato un aperto, questo, poiché $\left (\mathbb{R}^n,\mathcal{N} \right )$ è globalmente a base numerabile, è unione numerabile di cerchi aperti, ossia è unione numerabile di σ-compatti e dunque è σ-compatto.

$\Box$